職場の健康保険をやめてから何の保険にも入ってなかった場合の保険税はどうなりますか？

国保は強制加入です。（国民皆保険制度）
したがって、職場の健康保険をやめられたり、他の市町村から転入されてきたときは、14日以内に国保加入の届出をしていただくことになっています。
国保は被保険者の人が経済的に心配なく治療を受けられるように、国保税を出し合い、お互いに助け合っていく制度です。
社会保険が切れた日から14日以内に国保加入の届出をしていただかなければならなかったということになります。「何の保険にも入ってなかった」とか、「病院にかかってない」という理由でその間の国保税が免除になることはありません。